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古埃及的數學

列印本稿】 【進入論壇】 【推薦朋友】 【關閉窗口 2006年11月13日 15:47
    算術

    古埃及人所創建的數係與羅馬數係有很多相似之處,具有簡單而又純樸的風格,並且使用了十進位制,但是不知道位值制。

    根據史料記載,埃及象形文字似乎只限于表示107以前的數。由於是用象形文字表示數,進行相加運算是很麻煩的,必須要數“個位數”、“十位數”、“百位數”的個數。但在計算乘法時,埃及人採取了逐次擴大2倍(duplication)的方法,運算過程比較簡單。

    乘法:古埃及人採用反覆擴大倍數的方法,然後將對應結果相加。例如蘭德紙草書(希特版)第32頁,記載著1212的計算方法,是從右往左讀的。我們以現代數字來表示,這就是倍增法。

    1 12 

    2 24

    / 4 48

    / 8 96合計 144 

    由上表可知,計算的方法是把12依次擴大2倍,那麼1212為12的4倍加上12的8倍恰是12的12倍,並把要加的數在右側(上表以現代阿拉伯數字為例,因此在左側標出)標記斜線,算得結果144。

    在更早的時期,埃及人也採用“減半法”來計算乘法。首先是將一乘數擴大10倍,然後再計算10倍的一半。例如紙草書(卡芬版)第6頁,計算1616,是按如下方法計算的,即減半法(mediato)。

    / 1 16

    / 10 160

    / 5 80

    合計 256

    這種乘法的計算方法是古代人計算技能的基礎,是非常古老的方法。

    除法:埃及人很早就認識到除法是乘法的逆運算,並蘊含在實際計算之中。例如,計算112080

     1 80

    / 10 800

    2 160

    / 4 320

    合計 1120

    以上求解的基本思路是10倍的80加上4倍的80,恰好是1120,即1120中含有14個80。

    分數:古埃及人對分數的記法和計算都比現在複雜得多。例如,他們把2/3理解為“二個部分”,並且把能使“二個部分”變成整體的部分叫做“第三部分”。例如:

    “二個部分”即2/3——“第三部分”即1/3

    “三個部分”即3/4——“第四部分”即1/4

    這樣,通過二個部分與第三部分;三個部分與第四部分的結合來表示出一個整體。按此規律理解,五分之一可以認為與四個部分結合成一個整體的第五部分。從語言角度,五分之二就無法表達了。

    隨著分數範圍的不斷擴大,計算方法的不斷改進,埃及人用“單位分數”(分子是1的分數)來表示分數。對一般的分數則拆成“單位分數”表示(拆法不一)。例如:

    2/5=1/3+1/15        2/7=1/4+1/28

    3/8=1/4+1/8        2/5=1/3+1/20+1/60

    代數

    在蘭德紙草書中,因為求含一個未知量的方程解法在埃及語中發“哈喔”(hau)音,故稱其為“阿哈演算法”

    "阿哈演算法"實際上是求解一元二次方程式的方法。蘭德紙草書第26題則是簡單一例。用現代語言表達為:

    “一個量與其1/4相加之和是15,求這個量。”

    古埃及人是按照如下方法計算的:

    把4加上它的1/4得5,然後,將15除以5得3,最後將4乘以3得12,則12即是所求的量。

    這種求解方法也稱“暫定前提”(false assumption)法,即:首先,根據所求的量而選擇一個數。在蘭德紙草書第26題中,選擇了4,因為4的1/4是容易計算的,然後,按照上面的步驟進行計算。

    在用“阿哈演算法”求解的問題中,也含有求平方根的問題,柏林紙草書中有如下的問題:

    “如果取一個正方形的一邊的3/4(原文是1/2+1/4)為邊做成新的正方形,兩個正方形面積的和為100,試計算兩個正方形的邊長。”

    不妨從“暫定的前提”出發,首先取邊長為1的正方形,那麼另一個正方形的邊長為3/4,自乘得9/16,兩個正方形面積的和為1+9/16,其平方根為1+1/4,已知數100的平方根為10,而10是1+1/4的8倍。原文殘缺不全,其結果是容易推測的,即18=8,83/4=6,即兩個正方形的邊長分別為8和6。

    埃及人對“級數”也有了簡單的認識。在紙草書中,用象形文字寫出一列數7,49,343,2401,16807,並與之對應一列詞:“圖畫”、“貓”、“老鼠”、“大麥”、“容器”,最後,給出和數為19607。實際上,這是公比為7的等比數列。對此,有的數學史家解釋為:“有7個人,每人有7隻貓,每只貓能吃7隻老鼠,而每只老鼠吃7蕙大麥,每蕙大麥種植後可以長出7容器大麥。”從這個題目中,可以寫出怎樣的一列數,它們的和是多少?這種題目就涉及到求數列和的問題。

    幾何

    埃及人創建的幾何以適用工具為特徵,以求面積和體積為具體內容。他們曾提出計算土地面積、倉庫容積、糧食堆的體積、建築中所用石料和其他材料多寡等法則。

    埃及人能應用正確的公式來計算三角形、長方形、梯形的面積。把三角形底邊二等分,乘以高;同樣,把梯形兩平行邊之和二等分,乘以高分別作為三角形和梯形的面積。另外,埃及人還能對不同的面積單位進行互相換算。

    在埃及埃特夫街的赫爾斯神殿的文書中,記載著很多關於三角形和四邊形面積計算問題。但是,他們把四邊形二對邊之和的一半與另二對邊和的一半之積作為面積,這顯然是不對的,只是長方形時,這才是正確的計算公式。

    埃及人曾採用S=(8d/9)2(其中S是圓的面積、d是圓的直徑)來計算圓的面積。由此得到:

    π≈4(8d/9)2≈3.16049……。

    能把π精確到小數點後一位,在那個時代,應該説是一件了不起的事,巴比倫人在數學高度發展時期,還常常取π=3。

    在計算體積方面,經考察蘭德紙草書發現,埃及人已經知道立方體、柱體等一些簡單圖形體積的計算方法,並指出立方體、直棱柱、圓柱的體積公式為“底面積乘以高”。

    有材料證實,在埃及集合中,最突出的一項工作是發現截棱錐體的體積公式,(錐體的底是正方形),此公式若用現代數學符號表示為:

    V=h/3(a2+ab+b2)

    其中h是高,a和b是上、下底的邊長。
 
來源:中國經濟網綜合
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